四川省乐山市高中2010届第一次调查研究考试理科数学试题
本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和4B或5B铅笔写、涂写在答题卡上．高考资源网
2．每小题选出答案后，用4B或5B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再涂选其它答案，不准答在试题单上．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．参考公式：
如果事件A、B五斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
高考资源网
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知点
在第二象限，且
，则
（ ）
2．已知全集ww w.ks 5u.co m为R，集合
，
，则集合
（ ）
3．设函数
（ ）
4．在递增的等比例数列
中，
（ ）
5．某医院ww w.ks 5u.co m为了支援汶川地震灾区的重建工作，要从4名男医生和3名女医生中选出3名前往灾区，则至少有一男一女的不同选派方法有（ ）
6．已ww w.ks 5u.co m知
，则下列结论正确的是（ ）
7．设函数
对任意
，都有
，若函数
，则
的值是（ ）
8．将函ww w.ks 5u.co m数
的图象按向量
平移后得到的图象对应的函数为
，则不等式
的解集为（ ）
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若
，且△ABC的面积为
，则角A=（ ）
10．已知向量
是两个不共线的向量，它们的起点相同，且
这三个向量的终点在一条直线上，则
的值为（ ）
11．设数列
满足：
，则经过点
的直线的一个方向向量的坐标可以表示为（ ）
12．函数
的大致图象如图所示，
是该函
数图象的对称轴，则
的取值范围是（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．设i为虚数单位，则
_____________；
14．甲、乙、丙三位学生展开学习竞赛，每天上课后独立完成6道自我检测题。如果甲及格的概率为
，乙及格的概率为
，丙及格的概率为
，则三人中有且只有一人及格的概率为____________；
15．设数列
的通项
，前n项的和为
，则当最大时，
的展开式中常数项为________；
16．下列命题：
①命题“若
，则
”的否命题是“若，则
；
②若函数
，c为常数，则
是周期函数；
③正态总体函数
，
的图象恒在
轴上方，且关于直线对称；
④若不等式
的解集中的整数有且仅有1,2,3,则实数b的取值范围是(5，7)，其中正确命题的序号为_________(把你认为所有正确命题的序号都填上)；
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（17）（本题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c且
。
（1） 求角C的大小；
（2） 若函数
。求函数在区间
上的最大值以及此时的的值。
（18）（本题满分12分）
某服装店销售部分“T恤衫”，“T恤衫”的相关信息如下列两表所示，
|
类型 |
甲 |
乙 |
丙 |
类型 |
甲 |
乙 |
丙 |
|
单价（元/件） |
20 |
15 |
10 |
数量（件） |
3 |
4 |
3 |
表（1） 表（2）
小王随机从这10件“T恤衫”中购买2件，假设每件被小王买走的概率相同，记小王买这两件“T恤衫”所付出的金额为
（元），求：
（1） 随机变量的分布列；
（2） 随机变量的数学期望。
（19）（本题满分12分）
已知反比例函数的图象过点
，数列满足：
，
（1） 求数列的通项公式；
（2） 令
，若数列
的前n项的和为
，求
；
（20）（本题满分12分）
已知二次函数
的二次项系数为正实数，且满足
。
（1）求函数的单调区间
（2）设
，解关于的不等式
。
（21）（本题满分12分）
已知函数的定义域为
，且满足下列条件：
① 对任意的
，总有
；
② 若
，则有
（1）求
的值；
（2）求的值域；
（3）是否存在实数m，使得函数
在有零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
（22）（本题满分14分）
定义在
的函数
。
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）若在区间
上的最大值为
，求实数
的值；
（3）设
，
求证：当
时，
。
参考答案及评分意见
一、选择题（每小题5分），共60分）
1．（B）2．（D）3．（C）4．（C） 5．（B）
6．（D）7．（C）8．（A）9．（C）10．（A）
11．（B）12．（C）
提示：
1．由题知，
且
，则
为第四象限的角，∴
，故选（B）。
2．化简集合A、B得，
，
，由数形结合可得
，故选（D）。
3．由题得
满足
，解得
，则令
，得
，即
，故选（C）。
4．由等比性质知，
，则由
可构造二次方程
，由
为递增数列，
∴
，∴
，则
，故选（C）。
5．至少一男一女包含一男二女和二男一女的情况，则选派数
，故选（B）。
6．∵
，∴在处不连续，∴A错；而
，故B错；
∵
，故选（D）
7．由，知
是函数的对称轴，则
的终边在轴上，则
，则
，故选（C）。
8．由向量平移得
，则不等式为
，可由绝对值的几何意义或“零点分段法”解得该不等式的解集为
，故选（A）。
9．由
得
，所以
，又△ABC的面积为，所以
，所以
，故
，得
，故选（C）。
10．根据向量运算的三角形法则，知
，则
，解得
，故选（A）。
11．由
，得
，得
，所以
，
，则PQ的一个方向向量为
，验证易知选（B）。
12．由对称轴知
，
，由定义域为R，知
。∴
，又由
，得
，
，画出
表示的平面区域，由表示动点
与
连续的斜率，则易知选（C）。
二、填空题（每小题4分，4小题，共计16分）
13．
14．
15．
16．②③④
提示：
13．
14．由甲、乙、丙及格的概率分别为
，
，则三人中只有一人及格的概率为
15．令
，则
，知数列的前6项为正，即S6最大，∴n=6，所以
=
，则常数项为
。
16．一个命题的否命题是条件和结论皆否定，故①错；对②若
，
则
，即2为其周期，故②正确；对③由正态总体函数的图象特征可知是正确的；对④解集为
，∵解集中只有1，2，3整数解，故
且
，解得b的范围为
，
故④正确；因此②③④正确。
三、解答题（6小题，共74分）
17．解：（1）由题得：
……………………………………2分
=
……4分
∴C=60°………………………………5分
（2）由（1）知
=
=
=
……………………8分
令
，则原函数化为
由
，知
，
所以
……………10分
此时，
，所以
……………………………………12分
18．解（1）的所有可能值为20，25，30，35，40。
则
，
，
，
，
所以随机变量的概率分布为
|
|
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
………………………………8分
（2）
……………………………………12分
19．解：（1）令反比例函数
，由其图象过，
得
，则
，………2分
则由
，
得
，
即
，则
…
= 
，
即
……………………6分
（2）
，……………………8分
则
………………10分
所以
…12分
20．解：（1）令
……………………………………2分
则由，得
，…3分
所以
，
则函数的图象对称轴为，且开口向上，
则在
上递增，在
上递减………………………………5分
（2）由题知
…6分
下面分类讨论：
①若
，则
，
则由
，得
，
得
，解得
或
，
此时解为
………9分
②若
，则
由，得
=
，
所以
，得
恒不满足，所以此时
…………11分
综上，不等式的解集为
…………12分
21．解：（1）令
，
由①得，
，………………1分
又由②得，
，
即
，………………………2分
因此
；……………………3分
（2）任取
，且令
，
则
，…………………4分
因为
，故
……………………………………5分
故
故在上单调递增，…7分
故的值域为
=
；
……………………………………8分
（3）假设存在实数m满足题设条件，则原问题可化归为关于的方程
在上有实数解，
………………………………………9分
令
=
，则问题化归为
在区间
上有实数解，
………………………………………10分
因为
，因为
，由图象法或配方法得：
，即存在实数
满足题设条件……12分
22．（1）令
，则
，则
所以在上为奇函数；
………………………………………4分
（2）当
时，
∵
当
，即在
上递增，在
上为减函数；…………………………………5分
①若
，即
时，
，
解得
与
矛盾（舍）；…7分
②若
，则易知，在上递增，在
上递减，则
，
解得
；
综上，的值为
。………………9分
（3）∵是奇函数，
∴
为偶函数，
易知
也是偶函数，
∴只要证明当时，
即可………10分
证明：当且时，
，设
，
由
，易知在
上递减，在
上递增，
………………………………………11分
而
，当
时，
，即
在
上单调递减。…………12分
∴
，
∴当时，，
综上，原结论成立，得证…………14分
